15 фактов из истории геометрии: от Древнего Египта до неевклидовых геометрий

С геометрией мы сталкиваемся ежесекундно, даже не замечая этого. Размеры и расстояния, формы и траектории движения — всё это геометрия. Значение числа π знают даже те, кого в школе от геометрии воротило, и те, кто, зная это число, не в состоянии подсчитать площадь круга. Многие знания из области геометрии могут показаться элементарными — все знают, что самый короткий путь через прямоугольный участок лежит по диагонали. Но для того, чтобы сформулировать это знание в виде теоремы Пифагора, человечеству понадобились тысячелетия. Геометрия, как и другие науки, развивалась неравномерно. На смену резкому всплеску в Древней Греции пришёл застой Древнего Рима, который сменился Тёмными веками. Новому всплеску в Средневековье пришёл на смену настоящий взрыв 19 — 20 веков. Из прикладной науки геометрия превратилась в область высоких знаний, и её развитие продолжается. А начиналось всё с подсчёта налогов и пирамид…

1. Скорее всего, первые геометрические знания были выработаны древними египтянами. Они селились на плодородных заливаемых Нилом почвах. Налоги платили от имевшейся в распоряжении земли, а для этого нужно вычислять её площадь. Площадь квадрата и прямоугольника научились считать эмпирически, исходя из подобных фигур меньшего размера. А круг принимали за квадрат, стороны которого равны 8/9 диаметра. Число π при этом составляло примерно 3,16 — вполне приличная точность.

2. Занимавшихся геометрией строительства египтян называли гарпедонаптами (от слова «верёвка»). Самостоятельно они работать не могли — требовались рабы-помощники, так как для разметки поверхностей нужно было растягивать верёвки разной длины.

Строители пирамид не знали их высоту

3. Математическим аппаратом для решения геометрических задач первыми воспользовались вавилоняне. Они уже знали теорему, которую потом назовут Теоремой Пифагора. Все задачи вавилоняне записывали словами, отчего те получались очень громоздкими (ведь даже знак «+» появился только в конце 15-го века). И, тем не менее, вавилонская геометрия работала.

4. Систематизировал скудные тогда геометрические знания Фалес Милетский. Египтяне построили пирамиды, но не знали их высоты, а Фалес смог её измерить. Ещё до Евклида он доказал первые геометрические теоремы. Но, может быть, главным вкладом Фалеса в геометрию стало общение с юным Пифагором. Этот человек уже в старости повторял песнь о своей встрече с Фалесом и её значении для Пифагора. А ещё один ученик Фалеса по имени Анаксимандр начертил первую карту мира.

Фалес Милетский

5. Когда Пифагор доказал свою теорему, надстроив прямоугольный треугольник квадратами по его сторонам, его шок и потрясение учеников были так велики, что ученики решили — мир уже познан, осталось только объяснить его числами. Пифагор ушёл недалеко — он создал много нумерологических теорий, не имеющих отношения ни к науке, ни к реальной жизни.

Пифагор

6. Попытавшись решить задачу нахождения длины диагонали квадрата со стороной 1, Пифагор и его ученики поняли, что конечным числом эту длину выразить не удастся. Однако авторитет Пифагора был так силён, что он запретил ученикам разглашать этот факт. Гиппас не послушался учителя и был убит кем-то из других последователей Пифагора.

7. Важнейший вклад в геометрию внёс Евклид. Он первым ввёл простые, понятные и однозначные термины. Евклид также определил незыблемые постулаты геометрии (мы их называем аксиомами) и начала логически выводить все остальные положения науки, базируясь на этих постулатах. Книга Евклида «Начала» (хотя строго говоря, это не книга, а набор папирусов) — это Библия современной геометрии. Всего Евклид доказал 465 теорем.

8. Используя теоремы Евклида, работавший в Александрии Эратосфен первым вычислил длину окружности Земли. Основываясь на разнице в высоте тени, отбрасываемой палкой в полдень в Александрии и Сиене (не итальянской, а египетской, теперь это город Асуан), пешеходном измерении расстояния между этими городами. Эратосфен получил результат, всего на 4% отличающийся от нынешних измерений.

9. Архимед, которому Александрия была не чужда, хоть он и родился в Сиракузах, изобрёл немало механических устройств, но своим главным достижением считал вычисление объёмов конуса и шара, вписанных в цилиндр. Объём конуса составляет одну треть от объёма цилиндра, а объём шара — две трети.

Смерть Архимеда. «Отойди, ты закрываешь мне Солнце…»

10. Как ни странно, но за тысячелетие римского господства геометрия, при всём расцвете наук и искусств в Древнем Риме, не было доказано ни одной новой теоремы. В историю вошёл лишь Боэций, пытавшийся составить нечто вроде облегчённой, да ещё и изрядно перевранной, версии «Начал» для школьников.

11. Тёмные века, наступившие после краха Римской империи, затронули и геометрию. Мысль как бы замерла на долгие сотни лет. В 13-м веке Аделард Бартский впервые перевёл «Начала» на латынь, а ещё сто лет спустя Леонардо Фибоначчи привёз в Европу арабские цифры.

Леонардо Фибоначчи

12. Первым создавать описания пространства на языке чисел начал в 17-м веке француз Рене Декарт. Он же применил систему координат (её знал ещё Птолемей во 2-м веке) не только к картам, а ко всем фигурам на плоскости и создал описывающие простые фигуры уравнения. Открытия Декарта в геометрии позволили ему сделать ряд открытий и в физике. При этом, опасаясь гонений церкви, великий математик до 40 лет не опубликовал ни одной работы. Оказалось, правильно делал — его работу с длинным названием, которую чаще всего именуют «Рассуждение о методе», критиковали не только церковники, но и коллеги-математики. Доказало правоту Декарта, как ни банально это звучит, время.

Рене Декарт справедливо опасался публиковать свои труды

13. Отцом неевклидовой геометрии стал Карл Гаусс. Ещё мальчиком он самостоятельно выучился читать и писать, и однажды поразил отца, поправив его бухгалтерские расчёты. В начале 19-го века он написал ряд работ об искривлённом пространстве, но не публиковал их. Теперь учёные боялись не костра инквизиции, а философов. В то время мир млел от «Критики чистого разума» Канта, в которой автор призывал учёных отказаться от строгих формул и положиться на интуицию.

Карл Гаусс

14. Тем временем Янош Бойяи и Николай Лобачевский параллельно также разработали фрагменты теории неевклидового пространства. Бойяи также отправил свою работу в стол, лишь написав об открытии друзьям. Лобачевский в 1830 году напечатал свою работу в журнале «Казанский вестник». Лишь в 1860-х годах последователям пришлось восстанавливать хронологию работ всей троицы. Тогда-то и выяснилось, что Гаусс, Бойяи и Лобачевский работали параллельно, никто ни у кого ничего не воровал (а Лобачевскому одно время это приписывали), а первым всё же был Гаусс.

Николай Лобачевский

15. С точки зрения повседневной жизни обилие геометрий, созданных после Гаусса, выглядит игрой в науку. Однако это далеко не так. Неевклидовы геометрии помогают решить массу задач в математике, физике и астрономии.